设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_{n+1}-a_n)=A$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n}=A$.
设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_{n+1}-a_n)=A$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n}=A$.
[Hint] 看到 $a_{n+1}-a_n$ 就要联想到 $\frac{a_{n+1}-a_n}{(n+1)-n}$, 进而 Stolz 公式. 当然这里我们并不需要应用 Stolz 公式, 只需引理3344即可.
[Remark] 下面的证法不行.
由条件得 $\forall\ \varepsilon > 0$, $\exists N$, 当 $n > N$ 时, 总有
\[A-\varepsilon < a_{n+1}-a_n < A+\varepsilon .\]
于是, 有
\[
\begin{cases}
A-\varepsilon < &a_{n+1}-a_n < A+\varepsilon,\\
A-\varepsilon < &a_{n+2}-a_{n+1} < A+\varepsilon,\\
&\vdots\\
A-\varepsilon < &a_{2n}-a_{2n-1} < A+\varepsilon .
\end{cases}
\]
相加得
\[
n(A-\varepsilon) < a_{2n}-a_n < n(A+\varepsilon),
\]
从而推出
\[
A-\varepsilon < \frac{a_{2n}-a_n}{n} < A+\varepsilon .
\]
但这无法证明 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n}=A$, 除非知道数列 $\{\frac{a_n}{n}\}$ 是收敛的.